【過渡現象】RL直列回路 OFFからONへ

RL直列回路における過渡現象の解き方。あまり詳しくは解説してない。自分用メモ。

問題

でスイッチをoffからonにしたときの電流を求めよ

解き方

順序

1. 回路方程式をたてる
2. 同次形にする
3. 過渡解を求める
4. 定常解を求める
5. 一般解を求める
6. 答えを求める
7. グラフを書く

回路方程式をたてる

電圧についての式
\begin{eqnarray}
E&=&V_R+V_L\\
&=&Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}
\end{eqnarray}

電流
R
L
C

同次形にする

Eを0にする

同次形

移項していく
\begin{eqnarray}
0&=&Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt} \\
-L\frac{di(t)}{dt}&=&Ri(t)\\
\frac{di(t)}{dt}&=&-\frac{R}{L}i(t)\\
di(t)&=&-\frac{R}{L}i(t)dt\\
\frac{1}{i(t)}di(t)&=&-\frac{R}{L}dt
\end{eqnarray}
積分する
\begin{eqnarray}
log|i(t)|&=& -\frac{R}{L}t+A_1\\
i(t)&=&exp(-\frac{R}{L}t+A_1)\\
&=&\exp(-\frac{R}{L}t)\exp(A_1)\\
&=&A_2\exp(-\frac{R}{L}t)\\
\end{eqnarray}
は積分定数で、をとおく。

\begin{eqnarray}
\exp(A+B)=e^{A+B}=e^Ae^B=\exp(A)\exp(B)
\end{eqnarray}

過渡解

定常解を求める

定常状態、つまりのときのを求める。

直流電流なので、である。
電流の式はだ。

定常解

直流電源においてが0である理由
Lのインピーダンスはで表される。
であるが、直流電源なので(振動していない)
よって
よって

一般解を求める

一般解は過渡解と定常解を足したもの。

一般解

A2を求める

を求めることで、答えが求まる。
初期条件は、

• 
• 

であるので、それぞれ初期条件を一般解に代入する。
\begin{eqnarray}
i(t)&=&\frac{E}{R}+A_2 \exp(-\frac{R}{L}t)\\
0&=&\frac{E}{R}+A_2 \exp(-\frac{R}{L}\times 0)\\
&=&\frac{E}{R}+A_2 \exp(0)\\
&=&\frac{E}{R}+A_2 \times 1\\
A_2&=&-\frac{E}{R}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\exp(0)=e^0=1
\end{eqnarray}

答え

一般解のに代入する
\begin{eqnarray}
i(t)&=&\frac{E}{R}+A_2 \exp(-\frac{R}{L}t)\\
i(t)&=&\frac{E}{R}-\frac{E}{R} \exp(-\frac{R}{L}t)\\
&=&\frac{E}{R}\{1-\exp(-\frac{R}{L}t)\}\\
\end{eqnarray}

答え

グラフ

グラフはこんなかんじになる。漸近線。