【過渡現象】RC直列回路 OFFからONへ

RC直列回路における過渡現象の解き方。あまり詳しくは解説してない。自分用メモ。

問題

でスイッチをoffからonにしたときの電流を求めよ

解き方

解き方はRL直列回路と一緒である。
順序

1. 回路方程式をたてる
2. 同次形にする
3. 過渡解を求める
4. 定常解を求める
5. 一般解を求める
6. 答えを求める
7. グラフを書く

回路方程式をたてる

電圧に関する式をたてる
\begin{eqnarray}
E&=&V_R+V_C\\
&=&Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)dt
\end{eqnarray}

回路方程式

同次形にする

Eを0に置き換える
\begin{eqnarray}
E&=&Ri(t)+\frac{1}{C} \int i(t)dt\\
0&=&Ri(t)+\frac{1}{C} \int i(t)dt\\
0&=&R\frac{d q(t)}{dt}+\frac{1}{C} q(t)\\
\end{eqnarray}

電荷と電流
である。
電流の定義は、単位時間あたりに流れる電荷の量だから、
という式が成り立つ。
逆に電荷はt秒間に流れる電流の積分で求められる。

式の変形をする
\begin{eqnarray}
0&=&R\frac{d q(t)}{dt}+\frac{1}{C} q(t)\\
-R\frac{d q(t)}{dt}&=&\frac{1}{C}q(t)\\
\frac{d q(t)}{dt}&=&-\frac{1}{RC}q(t)\\
d q(t)&=&-\frac{1}{RC}q(t)dt\\
\frac{1}{q(t)} d q(t)&=&-\frac{1}{RC}dt\\
\end{eqnarray}
積分する
\begin{eqnarray}
\log|q(t)| &=& -\frac{t}{RC}+A_1\\
q(t)&=&\exp(-\frac{t}{RC}+A_1)\\
&=&\exp(-\frac{t}{RC}+A_1)\\
&=&\exp(-\frac{t}{RC})\exp(A_1)\\
&=&A_2\exp(-\frac{t}{RC})\\
\end{eqnarray}

過渡解

定常解を求める

のとき、回路の電荷は
\begin{eqnarray}
q(t)=CE
\end{eqnarray}
となる。

であるらしい。この場合、VはEであるので、上記の式になる。

定常解

一般解を求める

一般解は過渡解＋定常解

一般解

A2を求める

を求めることで、答えが求まる。
初期条件は、

• 
• 

であるので、それぞれ初期条件を一般解に代入する。
\begin{eqnarray}
q(t)&=&CE+A_2\exp(-\frac{t}{RC})\\
Q_0 &=&CE+A_2\exp(-\frac{0}{RC})\\
&=&CE+A_2\exp(0)\\
A_2&=&Q_0 -CE
\end{eqnarray}

答え

一般解にを代入する
\begin{eqnarray}
q(t)&=&CE+A_2\exp(-\frac{t}{RC})\\
q(t)&=&CE+(Q_0 -CE)\exp(-\frac{t}{RC})\\
\end{eqnarray}

ここで求まったのは、電荷の式なので、電流の式を求めるために微分する。
\begin{eqnarray}
i(t)=\frac{d q(t)}{dt}=-\frac{1}{RC}(Q_0 -CE)\exp(-\frac{t}{RC})
q(t)&=&CE+(Q_0 -CE)\exp(-\frac{t}{RC})\\
\end{eqnarray}

グラフ

とのグラフは以下のようになる